ទ្រឹស្តីបទគំរូ Nyquist-Shannon

ឧទាហរណ៍នៃរ៉ិចទ័រនៃការបម្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ខ្សែអក្សរ

នៅក្នុងវាលនៃការ ដំណើរការសម្លេងឌីជីថល នេះ ទ្រឹស្តីបទគំរូ ជាស្ពានជាមូលដ្ឋានរវាង សញ្ញាបន្តពេលវេលា (ជាញឹកញាប់គេហៅថា«សញ្ញាអាណាឡូក ") និង សញ្ញាដាច់ម៉ោង (ហៅជាញឹកញាប់" សញ្ញាឌីជីថល ") ។ វាបង្កើតលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ អត្រាគំរូ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានលំដាប់ដាច់ពីគ្នានៃ គំរូ ដើម្បីចាប់យកព័ត៌មានទាំងអស់ពីសញ្ញាបន្តបន្ទាប់នៃ កម្រិតបញ្ជូន កំណត់ ។

ដោយនិយាយយ៉ាងតឹងតែងទ្រឹស្តីបទនេះអនុវត្តតែលើថ្នាក់នៃ មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា ដែលមាន ប្លែង Fourier ដែលជាសូន្យខាងក្រៅតំបន់ដែលកំណត់នៃប្រេកង់។ ដោយប្រុងប្រយ័ត្នយើងរំពឹងថាពេលណាមួយបន្ថយតួនាទីជាបន្តបន្ទាប់ទៅលំដាប់ដាច់ពីគ្នាហើយ បូកសរុប ត្រឡប់ទៅមុខងារបន្តវិញភាពស្មោះត្រង់នៃលទ្ធផលគឺអាស្រ័យលើដង់ស៊ីតេ (ឬ អត្រាគំរូ ) នៃគំរូដើម។ ទ្រឹស្តីបទសំណាកគំរូណែនាំពីគំនិតនៃអត្រាគំរូដែលគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពត្រឹមត្រូវឥតខ្ចោះសម្រាប់ថ្នាក់នៃមុខងារដែលមាន ដែនកំណត់ទៅនឹងកម្រិតបញ្ជូនដែលបានផ្តល់ឱ្យដូច្នេះថាគ្មានព័ត៌មានពិតប្រាកដត្រូវបានបាត់បង់នៅក្នុងដំណើរការសំណាកគំរូ។ វាបង្ហាញអត្រាគំរូគ្រប់គ្រាន់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកម្រិតបញ្ជូនសម្រាប់ថ្នាក់អនុគមន៍។ ទ្រឹស្តីបទនេះក៏នាំឱ្យមានរូបមន្តមួយសម្រាប់ធ្វើឡើងវិញនូវមុខងារបន្តបន្តដើមល្អឥតខ្ចោះពីសំណាកគំរូ។

ការស្ថាបនាឡើងវិញដ៏ល្អឥតខ្ចោះអាចនៅតែអាចធ្វើទៅបាននៅពេលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យអត្រាគំរូមិនត្រូវបានពេញចិត្តផ្តល់ឱ្យឧបសគ្គផ្សេងទៀតនៅលើសញ្ញាត្រូវបានគេស្គាល់។ (សូមមើល §ការធ្វើគំរូគំរូនៃសញ្ញាដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន នៅខាងក្រោមនិង ការស្កេន ។ ) ក្នុងករណីខ្លះ (នៅពេលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគំរូមិនពេញចិត្ត) ការប្រើឧបសគ្គបន្ថែមអនុញ្ញាតឱ្យមានការស្ថាបនាប្រហាក់ប្រហែល។ ភាពស្មោះត្រង់នៃការកសាងឡើងវិញទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់និងកំណត់បរិមាណដោយប្រើ ទ្រឹស្តីបទ Bochner ។ ^[1]

ឈ្មោះ ទ្រឹស្តីបទគំរូ Nyquist-Shannon បាន ផ្តល់កិត្តិយសដល់ លោក Harry Nyquist និង Claude Shannon ។ ទ្រឹស្តីបទនេះក៏ត្រូវបានគេរកឃើញដោយឯករាជ្យដោយ អេតធីវីថូខឺ រដោយ វ្ល៉ាឌីមៀគូលីនីកូវ និងអ្នកផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរដោយឈ្មោះ Nyquist-នាង Shannon-Kotelnikov , Whittaker-នាង Shannon-Kotelnikov , Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-នាង Shannon និង ទ្រឹស្តីបទខានៃការកែខៃ ។

មាតិកា

  [ លាក់ ] 

• 1សេចក្តីផ្តើម
• 2Aliasing
• 3ដេរីវេជាករណីពិសេសមួយនៃការសរុបត្រី
• 4ភស្តុតាងដំបូងរបស់ Shannon
  • 4.1កំណត់សំគាល់
• 5ការអនុវត្តចំពោះសញ្ញានិងរូបភាពច្រើន
• 6ប្រេកង់សំខាន់
• 7ការស្កេនសញ្ញារលកអាកាស
• 8គំរូទឹកដោះគ្មោន
• 9ការស្កេននៅខាងក្រោមអត្រា Nyquist ក្រោមការរឹតបន្តឹងបន្ថែម
• 10ប្រវត្តិសាស្រ្ត
  • 10.1អ្នករកឃើញផ្សេងទៀត
  • 10.2ហេតុអ្វីបានជា Nyquist?
• 11សូមមើលផងដែរ
• កំណត់ត្រា12
• 13ឯកសារយោង
• 14ការអានបន្ថែម
• 15តំណខាងក្រៅ

សេចក្តីណែនាំ [ កែប្រែ ]

គំរូ គឺជាដំណើរការនៃការបម្លែងសញ្ញា (ឧទាហរណ៍មុខងារនៃពេលវេលានិង / ឬចន្លោះបន្ត) ទៅជាលំដាប់លេខ (មុខងារនៃពេលវេលានិង / ឬចន្លោះទំនេរ) ។ ទ្រឹស្តីនៃទ្រឹស្តី របស់ Shannon ចែងថា: ^[2]

ប្រសិនបើអនុគមន៍ x (t) គ្មានប្រេកង់ខ្ពស់ជាង B  hertz វាត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយផ្តល់សញ្ញាចែកជាស៊េរីនៃចំនុចដែលមានចន្លោះ 1 / (2 ប៊ី ) វិនាទី។

អត្រាសំណាកគំរូគ្រប់គ្រាន់ដូច្នេះគឺ 2 ប៊ី គំរូ / វិនាទីឬអ្វីធំជាង។ សមមូលសម្រាប់គំរូដែលបានផ្តល់អត្រាការប្រាក់ ច _បាន , ការកសាងឡើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះដែលអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ត្រូវបានធានាជាមួយ bandlimit ខ < f _{s បាន} / 2 ។

នៅពេល bandlimit ខ្ពស់ពេក (ឬមិនមាន bandlimit) នោះការសាងសង់ឡើងវិញបង្ហាញភាពមិនល្អឥតខ្ចោះដែលត្រូវបានគេហៅថា aliasing ។ អំណះអំណាងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទជួនកាលត្រូវប្រុងប្រយ័ត្នដើម្បីបញ្ជាក់ច្បាស់ថា x ( t ) ត្រូវតែមិនមាន សមាសធាតុ sinusoidal ប្រហាក់ប្រហែល នឹងប្រេកង់ B ឬ B ត្រូវតែតិចជាង 1/2 នៃអត្រាគំរូ។ នេះជាកម្រិតពន្លឺទាំងពីរ, 2 ខ និង ច _បាន / 2 ត្រូវបានហៅថារៀងគ្នានេះ អត្រា Nyquist និង ប្រេកង់ Nyquist ។ ហើយរៀងៗខ្លួនពួកគេគឺជាគុណលក្ខណៈ x ( t) និងឧបករណ៍អេឡិចត្រូនិក។ លក្ខខណ្ឌដែលបានពិពណ៌នាដោយវិសមភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Nyquist ឬជួនកាល ស្ថានភាពរបស់ Raabe ។ ទ្រឹស្តីបទនេះក៏អនុវត្តផងដែរចំពោះមុខងារនៃដែនផ្សេងទៀតដូចជា ទំហំ ក្នុងករណីរូបភាពឌីជីថល។ ការផ្លាស់ប្តូរតែប៉ុណ្ណោះ, ក្នុងករណីនៃដែនផ្សេងទៀត, នេះគឺជាឯកតារង្វាស់ដែលបានអនុវត្តទៅ t , ច _បាន និង ខ ។

អនុគមន៍សិច ធម្មតា : sin (π x ) / (π x ) ... បង្ហាញចំនុចកណ្តាលនៅ x = 0 និងច្រកសូន្យនៅតម្លៃ integer ផ្សេងទៀតនៃ x ។

នេះជា និមិត្ដរូប T មាន = 1 / ច _បាន ត្រូវបានប្រើដើម្បីតំណាងចន្លោះពេលមានទម្លាប់រវាងគំរូនិងត្រូវបានគេហៅថា រយៈពេលគំរូ ឬ ចន្លោះគំរូ ។ និងគំរូនៃអនុគមន៍ x ( t ) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះជាទូទៅដោយ x [ n ] = x ( nT ) (ជំនួស " x _n " នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍កែច្នៃសញ្ញាចាស់) សម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់សរុបនៃ n ។ វិធីដ៏ល្អខាងគណិតវិទ្យាដើម្បីចេះធ្វើលំដាប់លំដោយនៃលំដាប់ទាក់ទងនឹងការប្រើ មុខងារសឺន។ គំរូនីមួយៗនៅក្នុងលំដាប់ត្រូវបានជំនួសដោយអនុគមន៍សិចមួយដែលផ្ដោតលើអ័ក្សពេលវេលានៅទីតាំងដើមនៃគំរូ nT ដោយទំហំនៃអនុគមន៍សិចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានទៅតម្លៃគំរូ x [ n ] ។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍សិចត្រូវបានបូកជាអនុគមន៍បន្ត។ វិធីសាស្ត្រសមមូលគណិតវិទូគឺដើម្បីបញ្ចុះបញ្ចូលអនុគមន៍សិចមួយជាមួយស៊េរីនៃ សូន្យ នៃ លំហូរ Dirac delta pounded ដោយតម្លៃគំរូ។ វិធីសាស្រ្ដទាំងពីរគឺមិនមានប្រយោជន៍ទេ។ ផ្ទុយទៅវិញប្រភេទប្រហាក់ប្រហែលនៃមុខងារសិចមានកំណត់ប្រវែងត្រូវបានប្រើ។ ភាពមិនគ្រប់លក្ខណ៍ដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា កំហុសការនិយាយ ។

ជាក់ស្តែង កម្មវិធីបម្លែងឌីជីថលអាណាឡូក ផលិតចាប់តាំងពីការមិនបានធ្វើមាត្រដ្ឋានមុខងារនិងការពន្យាពេលឬជីពចរឌីរ៉ាក់ល្អ។ ផ្ទុយទៅវិញពួកគេបានផលិត piecewise-ថេរ លំដាប់នៃការធ្វើមាត្រដ្ឋាននិងការពន្យាពេល ជីពចរចតុកោណ (ការ កាន់សូន្យលំដាប់ ), ជាធម្មតាតាមពីក្រោយដោយមួយ "ប្រឆាំងនឹងរូបភាពតម្រង" ដើម្បីសម្អាតមាតិកាប្រេកង់ខ្ពស់ភ្លាំងភ្លាត់។

ដាក់ឈ្មោះក្លែងក្លាយ [ កែប្រែ ]

អត្ថបទដើម: ក្លែងក្លាយ

គំរូនៃរលកស៊ីនុសពីរអាចមានដូចគ្នាបេះបិទនៅពេលយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមពួកគេមានប្រេកង់ខាងលើពាក់កណ្តាលអត្រាគំរូ។

នៅពេល x ( t ) ជាអនុគមន៍មួយជាមួយ បំលែង Fourier , X ( f ) :

$${\ displaystyle X (f) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ { \ {\ rm {d}} t,}

នេះ រូបមន្តប្រមាណវិធីបូក Poisson បានបង្ហាញថាគំរូនេះ X ( NT ) នៃ x ( t ) គឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្កើត ប្រមាណវិធីបូកកាលកំណត់ នៃ X ( f ) ។ លទ្ធផលគឺ :

$${\ displaystyle X_ {s} (f) \ {\ stackrel {\ mathrm {កំណ}} {=}} \ ផលបូក _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot x (nT) \ e ^ {- i2 \ pi nTf},}

( Eq.1 )

X ( f ) (ខៀវខ្ចីខាងលើ) និង X _A ( f ) (បាតខៀវ) កំពុងបន្តការបែងចែក Fourier នៃ អនុគមន៍ ពីរ ផ្សេងគ្នា x ( t ) និង x _A ( t ) (មិនត្រូវបានបង្ហាញ) ។ នៅពេលដែលមុខងារត្រូវបានបូមយកសំណាកអត្រា ច _បាន , រូបភាព (បៃតង) នឹងត្រូវបានបន្ថែមទៅការផ្លាស់ប្តូរដើម (ខៀវ) ពេលនេះការផ្លាស់ប្តូរមួយដែលពិនិត្យដាច់ពីគ្នាពេល Fourier (DTFT) នៃលំដាប់នេះ។ ក្នុងឧទាហរណ៍សម្មតិកម្មនេះ DTFTs គឺដូចគ្នាបេះបិទដែលមានន័យថា លំដាប់គំរូគឺដូចគ្នាបេះបិទ ទោះបីជាមុខងារមុនគំរូដើមបន្តមិនមាន។ ប្រសិនបើទាំងនេះជាសញ្ញាអូឌីយ៉ូ x( t ) និង x _A ( t ) ប្រហែលជាមិនមានលក្ខណៈដូចគ្នាទេ។ ប៉ុន្តែគំរូរបស់ពួកវា (យកតាមកម្រិត f _s ) គឺដូចគ្នាបេះបិទហើយនឹងនាំឱ្យមានសម្លេងដូចគ្នា។ ដូច្នេះ x _A ( t ) គឺជាឈ្មោះក្លែងក្លាយនៃ x ( t ) នៅអត្រាគំរូនេះ។

ដែលជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់និងតំណាងស្មើៗគ្នារបស់វាជា ស៊េរី Fourier ដែលមេគុណរបស់វាគឺ T • x ( nT ) ។ អនុគមន៍នេះត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជា បម្លែង Fourier ដាច់ពីគ្នា (DTFT) នៃលំដាប់ T - x ( nT ) សម្រាប់ចំនួនគត់ចំនួនគត់។

ដូចដែលបានបង្ហាញ, ច្បាប់ចម្លងនៃ X ( f ) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយពហុគុណនៃ ច _បាន និងការរួមបញ្ចូលគ្នាដោយការបន្ថែម។ សម្រាប់មុខងារកម្រិតក្រុមតន្រ្តី ( X ( f ) = 0 សម្រាប់ការទាំងអស់ | f | ≥ ខ ) និងមានទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ច _របស់វាគឺអាចធ្វើបានសម្រាប់ច្បាប់ចម្លងទៅនៅតែខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Nyquist មិនត្រូវបានពេញចិត្តច្បាប់ចម្លងនៅជិតគ្នាជាន់គ្នាហើយវាមិនអាចបង្កើតជាទូទៅដើម្បីដឹងពី X ( គ ) ច្បាស់លាស់ ទេ។ សមាសភាគប្រេកង់ខាងលើ f _s / 2 គឺមិនអាចបែងចែកពីសមាសភាគហ្វ្រេកង់ទាបដែលគេហៅថា ឈ្មោះក្រៅទេដែលជាប់ទាក់ទងជាមួយច្បាប់ចម្លងមួយ។ ក្នុងករណីដូចនេះបច្ចេកទេសអាំងតេក្រាលប្រពៃណីបង្កើតឈ្មោះក្លែងក្លាយជាជាងធាតុដើម។ នៅពេលអត្រាគំរូត្រូវបានកំណត់ជាមុនដោយការពិចារណាផ្សេងទៀត (ដូចជាស្តង់ដារឧស្សាហកម្ម) x ( t ) ត្រូវបានច្រោះជាធម្មតាដើម្បីកាត់បន្ថយប្រេកង់ខ្ពស់របស់វាទៅកម្រិតដែលអាចទទួលយកបានមុនពេលវាត្រូវបានគេយកគំរូ។ ប្រភេទនៃតម្រងដែលត្រូវការគឺជា តម្រងទាប ហើយក្នុងកម្មវិធីនេះគេហៅថា តម្រងប្រឆាំងរឆេតរឆូត ។

Spectrum, X _s ( f ), នៃសញ្ញាខ្លី bandlimited គំរូ (ពណ៌ខៀវ) និងរូបភាព DTFT នៅជិត (បៃតង) ដែលមិនជាន់គ្នា។ ការ ឥដ្ឋជញ្ជាំង Low-pass filter, ក្រុមហ៊ុន H ( ច ), យករូបភាពនោះទុកវិសាលគមដើម, X ( f ) និងស្ទុះងើបសញ្ញាដើមពីគំរូរបស់ខ្លួន។

ដេរីវេជាករណីពិសេសនៃការសង្ខេបអំពីត្រី [ កែប្រែ ]

នៅពេលគ្មានការជាន់គ្នានៃច្បាប់ចម្លង (អាកា "រូបភាព") នៃ X ( f ) នោះ k  = 0 នៃ X _s ( f ) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយផលិតផល :

$${\ displaystyle X (f) = H (f) \ cdot X_ {s} (f),}      ដែលជាកន្លែង :

{\ showstyle H (f) \ {\ stackrel {\ mathrm {កំណ}} {=}} \ {\ ចាប់ផ្តើម {ករណី} 1 & | f | <B \\ 0 & | f |> f_ {s} -B ។ បញ្ចប់ {ករណី}}}

នៅចំណុចនេះទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានបង្ហាញពីព្រោះ X ( f ) កំណត់តែ x ( t ) ។

អ្វីដែលនៅសល់គឺត្រូវយករូបមន្តសម្រាប់ការសាងសង់ឡើងវិញ។ គេ មិនចាំបាច់កំណត់ H ( f ) នៅក្នុងតំបន់ [ B , f _s - B ]ទេព្រោះ X _s ( f ) គឺសូន្យនៅក្នុងតំបន់នោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាករណីដ៏អាក្រក់បំផុតគឺនៅពេលដែល B  =  f _s / 2, ប្រេកង់ Nyquist ។ មុខងារដែលគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់រឿងនេះនិងករណីធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់គឺ :

{\ displaystyle H (f) = \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {f} {f_ {s}}} \ right) = {\ ចាប់ផ្តើម {ករណី} 1 & | f | {{frac {f_ { {} {{f} {}} {2}}, \ end {case}}}

ដែល rect (•) គឺជា អនុគមន៍ចតុកោណកែង ។ ដូច្នេះ :

$${\ displaystyle X (f) = \ mathrm {rect} \ left ({\ frac {f} {f_}}} \ right) \ cdot X_ {s} (f)}

$${\ displaystyle = \ mathrm {rect} (Tf) \ cdot \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot x (nT) \ e ^ {- i2 \ pi nTf}} ។      (ពី   Eq.1 , ខាងលើ) ។

$${\ insty} x (nT) \ cdot \ underbrace {T \ cdot \ mathrm {rect} (Tf) \ cdot e ^ {- i2 \ pi nTf} } {{\ mathcal {F}} \ left \ {\ mathrm {sinc} \ ខាងឆ្វេង {{frac {t-nT} {T}} \ right) \ right}}} ។ }     ^{[ចំណាំ 1]}

ការបម្លែងច្រាសនៃភាគីទាំងពីរបង្កើត រូបមន្តអាំងតេក្រាល Whittaker-Shannon :

$${\ in-xt} {t}} \ \ {{\ in} ស្តាំ),}

ដែលបង្ហាញពីរបៀបដែលគំរូ x ( nT ) អាចត្រូវបានដាក់បញ្ចូលគ្នាដើម្បីបង្កើតឡើងវិញនូវ x ( t ) ។

• តម្លៃដែលមានទំហំធំជាងការចាំបាច់នៃ f _{s បាន} (តម្លៃតូចជាងរបស់ ក្រុមហ៊ុន T ), ដែលហៅថា oversampling មានឥទ្ធិពលលើលទ្ធផលនៃការកសាងឡើងវិញនោះទេហើយមានអត្ថប្រយោជន៍នៃបន្ទប់សម្រាប់ការចាកចេញពី ក្រុមតន្ត្រីការផ្លាស់ប្តូរ នៅក្នុងការដែល ក្រុមហ៊ុន H ( ច ) ដោយឥតគិតថ្លៃដើម្បីយកមធ្យម តម្លៃ។ Undersampling ដែលបណ្តាលឱ្យ ស្រោមអនាម័យ មិនមែនជាទូទៅជាប្រតិបត្ដិការត្រលប់មកវិញ។
• តាមទ្រឹស្ដីរូបមន្តអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានអនុវត្តជា តម្រងឆ្លងកាត់ទាប ដែលចម្លើយឆ្លើយតបរបស់វាគឺ sinc ( t / T ) ហើយដែលមានបញ្ចូល$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdot \ delta (t-nT)}ដែលជា អនុគមន៍ Dirac comb ដែលត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយគំរូសញ្ញា។ ឧបករណ៍ បម្លែងឌីជីថលឌីជីថលឌីជីថល (DAC) អនុវត្តការប៉ាន់ស្មានដូចជាការ សូន្យតាមលំដាប់ ។ ក្នុងករណីនោះការមើលស្រុងអាចកាត់បន្ថយកំហុសប្រហាក់ប្រហែល។

ភស្តុតាងដើមរបស់ Shannon [ កែប្រែ ]

Poisson បង្ហាញថាស៊េរី Fourier ក្នុង Eq.1 ផលិតប្រមាណវិធីបូកកាលកំណត់នៃ X ( f ) ដោយមិនគិតពី ច _បាន និង ខ ។ Shannon ទោះជាយ៉ាងណាមានតែចេញពីមេគុណស៊េរីសម្រាប់ករណី f _s = 2B។ ស្ទើរតែដកស្រង់ក្រដាសដើមរបស់ Shannon :

សូម $${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)} ត្រូវវិសាលគមនៃ $${\ displaystyle \ scriptstyle x (t)} ។  បន្ទាប់មក

$${\ displaystyle x (t)}	$${\ displaystyle = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega) e ^ {i \ omega t} \ {{rm {d}} \ omega}
	$${\ displaystyle = {1 \ over 2 \ pi} \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {\ rm {d} } \ omega}

ចាប់តាំងពី $${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)} ត្រូវបានគេសន្មត់ថាសូន្យខាងក្រៅក្រុម {\ displaystyle \ scriptstyle | {\ frac {\ omega} {2 \ pi}} | <B}។ ប្រសិនបើយើងអនុញ្ញាត

$${\ displaystyle t = {n \ over {2B}}}

ដែល n ជាចំនួនវិជ្ជមានឬអវិជ្ជមានណាមួយយើងទទួលបាន

$${\ displaystyle x \ left ({\ tfrac {n} {2B}} \ right) = {1 \ លើ 2 \ pi} \ ) e ^ {i \ omega {n \ over {2B}}} \\ {{rm {d}} \ omega ។ }

នៅខាងឆ្វេងគឺជាតម្លៃនៃ $${\ displaystyle \ scriptstyle x (t)}នៅចំណុចគំរូ។ អាំងតេក្រាលនៅខាងស្ដាំនឹងត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាសំខាន់ ^{[n 1]} ការ n ^ទី មេគុណក្នុងស៊េរីពង្រីក Fourier នៃអនុគមន៍$${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)}យកចន្លោះ - ពី Bទៅ B ជាអំឡុងមូលដ្ឋានមួយ។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃសំណាក$${\ displaystyle \ scriptstyle x (n / 2B)} កំណត់មេគុណ Fourier នៅក្នុងការពង្រីកស៊េរី $${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega) ។ }  ដូច្នេះពួកគេបានកំណត់ $${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)} ចាប់តាំងពី $${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)}គឺសូន្យសម្រាប់ប្រេកង់ដែលធំជាង ប៊ី និងសម្រាប់ប្រេកង់ទាប$${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)}ត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើមេគុណ Fourier ត្រូវបានកំណត់។ ប៉ុន្តែ$${\ displaystyle \ scriptstyle X (\ omega)} កំណត់មុខងារដើម $${\ displaystyle \ scriptstyle x (t)}ទាំងស្រុងចាប់តាំងពីមុខងារត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើវិសាលគមរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ដូច្នេះសំណាកដើមកំណត់តួនាទី$${\ displaystyle \ scriptstyle x (t)} ទាំងស្រុង។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Shannon បានបញ្ចប់នៅចំណុចនោះប៉ុន្តែគាត់បន្តពិភាក្សាអំពីការស្ថាបនាឡើងវិញតាមរយៈ មុខងារបឋម អ្វីដែលយើងហៅថា រូបមន្តអយ្យការ Whittaker-Shannon ដូចដែលបានពិគ្រោះខាងលើ។ គាត់មិនទាញយកឬបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារស្តារនោះទេប៉ុន្តែទាំងនេះនឹងត្រូវបាន ^{[ ពាក្យ weasel ]} ស៊ាំទៅនឹងវិស្វករអានការងាររបស់គាត់នៅពេលនោះចាប់តាំងពីទំនាក់ទំនង ស្នូល Fourier រវាង rect (មុខងារចតុកោណ) និង sinc ត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់។

សូម $${\ displaystyle \ scriptstyle x_ {n}}ធ្វើជា គំរូ ^ទី n ។ បន្ទាប់មកមុខងារ$${\ displaystyle \ scriptstyle x (t)} ត្រូវបានតំណាងដោយ:

$${\ pi (2Bt-n)} \ over \ pi (2Bt-n)} ។ }} {\ infty} x_ {n} {\ sin \

ដូចទៅនឹងភ័ស្តុតាងដទៃទៀតដែរអត្ថិភាពនៃការបម្លែង Fourier នៃសញ្ញាដើមត្រូវបានគេសន្មត់ដូច្នេះភស្តុតាងមិននិយាយថាទ្រឹស្តីបទគំរូបានពង្រីករហូតដល់ដំណើរការកំណត់ចៃដន្យកំណត់។

ចំណាំ [ កែប្រែ ]

1. លោតឡើង^ រូបមន្តមេគុណផលពិតប្រាកដមានកត្តាបន្ថែមនៃ$${\ displaystyle \ scriptstyle 1 / 2B = T} ។ ដូច្នេះមេគុណរបស់សាន់នគឺ $${\ displaystyle \ scriptstyle T \ cdot x (nT)}ដែលយល់ស្របជាមួយ Eq.1 ។

កម្មវិធីនិងរូបភាពអថេរច្រើនសញ្ញា [ កែប្រែ ]

អត្ថបទដើមចម្បង: គំរូពហុភាគី

រូបភាពដែលបានចុះបញ្ជីបង្ហាញ គំរូMoiré

រូបភាពគំរូត្រឹមត្រូវ

ទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានបង្កើតជាធម្មតាសម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរតែមួយ។ ជាលទ្ធផលទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់ទៅនឹងសញ្ញាដែលអាស្រ័យពេលវេលានិងជាធម្មតាត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុងបរិបទនោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទ្រឹស្តីបទសំណាកគំរូអាចត្រូវបានពង្រីកយ៉ាងងាយស្រួលទៅនឹងមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍រូបភាពមាត្រដ្ឋានប្រផេះត្រូវបានតំណាងជាអាដាប់ពីរវិមាត្រ (ឬម៉ាទ្រីស) នៃចំនួនពិតដែលតំណាងឱ្យអាំងតង់ស៊ីតេដែលទាក់ទងនៃ ភីកសែល (ធាតុរូបភាព) ដែលមានទីតាំងនៅចំណុចប្រសព្វនៃទីតាំងគំរូជួរដេកនិងជួរឈរ។ ជាលទ្ធផលរូបភាពតម្រូវឱ្យមានអថេរពីរឬសន្ទស្សន៍ឯករាជ្យដើម្បីបញ្ជាក់ភីកសែលនីមួយៗតែមួយសម្រាប់ជួរដេកនិងមួយសម្រាប់ជួរឈរ។

រូបភាពពណ៌ជាធម្មតាមានសមាសធាតុនៃរូបភាពមាត្រដ្ឋានបីខុស ៗ គ្នាដែលតំណាងឱ្យពណ៌នីមួយៗគឺពណ៌ក្រហមបៃតងនិងខៀវរឺ RGB ។ ពណ៌គំរូផ្សេងទៀតដែលប្រើវ៉ិចទ័រ 3 សម្រាប់វ៉ិចទ័ររួមមាន HSV, CIELAB, XYZ ។ ល។ គំរូពណ៌មួយចំនួនដូចជាពណ៌ខៀវ, ពណ៌ស្វាយ, ពណ៌លឿងនិងខ្មៅ (CMYK) អាចតំណាងពណ៌ដោយវិមាត្រចំនួនបួន។ ទាំងអស់នេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជា មុខងារវ៉ិចទ័រដែលមានតម្លៃ នៅលើដែនគំរូដែលមានពីរវិមាត្រ។

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងសញ្ញាដាច់ពីគ្នាមួយវិមាត្ររូបភាពក៏អាចទទួលរងពីការដាក់ស្រមោលប្រសិនបើគុណភាពបង្ហាញគំរូឬដង់ស៊ីតេភីកសែលមិនគ្រប់គ្រាន់។ ឧទាហរណ៍រូបថតឌីជីថលនៃអាវដែលឆ្នូតដែលមានប្រេកង់ខ្ពស់ (ក្នុងន័យផ្សេងគ្នាចម្ងាយរវាងឆ្នូតគឺតូច) អាចបណ្តាលឱ្យស្រទាប់រអិលនៃអាវនៅពេលវាត្រូវបានគេជ្រើសរើសដោយ ឧបករណ៏រូបភាព របស់កាមេរ៉ា ។ ឈ្មោះក្លែងក្លាយលេចឡើងជា គំរូmoiré ។ ដំណោះស្រាយចំពោះការជ្រើសរើសគំរូខ្ពស់នៅក្នុងដែនដីសម្រាប់ករណីនេះនឹងត្រូវរើទៅជិតអាវយឺតប្រើឧបករណ៍អេកូដំណោះស្រាយខ្ពស់ជាងមុនឬដើម្បីបំភ្លឺរូបភាពដោយរលូនមុនពេលប្រើវាជាមួយឧបករណ៍ចាប់សញ្ញា។

ឧទាហរណ៍មួយផ្សេងទៀតត្រូវបានបង្ហាញនៅខាងស្ដាំនៅក្នុងលំនាំឥដ្ឋ។ រូបភាពខាងលើបង្ហាញផលប៉ះពាល់នៅពេលលក្ខខណ្ឌទ្រឹស្តីគំរូមិនពេញចិត្ត។ នៅពេលដែលកម្មវិធី rescales រូបភាព (ដំណើរការដូចគ្នានេះដែរដែលបង្កើតរូបភាពតូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទាប) វានៅមានប្រសិទ្ធិភាព, រត់រូបភាពតាមរយៈតម្រងទាបដំណាក់កាលដំបូងហើយបន្ទាប់មក downsamples រូបភាពទៅជាលទ្ធផលនៅក្នុងរូបភាពមានទំហំតូចដែលមិនបង្ហាញនេះ លំនាំmoiré ។ រូបភាពខាងលើគឺជាអ្វីដែលកើតឡើងនៅពេលដែលរូបភាពត្រូវបានលុបចោលដោយគ្មានការច្រោះទាប: លទ្ធផលត្រាប់តាម។

ទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានអនុវត្តចំពោះប្រព័ន្ធកាមេរ៉ាដែលកន្លែងកើតហេតុនិងកែវថតជាប្រភពសញ្ញាវិទ្យុសកម្មអាណាឡូកហើយឧបករណ៍ចាប់រូបភាពគឺជាឧបករណ៍គំរូមួយ។ សមាសភាគនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ដោយ មុខងារបញ្ជូនការផ្លាស់ប្តូរ (MTF) ដែលតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយជាក់លាក់ (កម្រិតបញ្ជូនទិន្នន័យ) ដែលមាននៅក្នុងសមាសធាតុនោះ។ បែបផែននៃព្រិលឬព្រិលអាចកើតឡើងនៅពេលដែលកញ្ចក់ MTF និងឧបករណ៏ MTF មិនត្រូវគ្នា។ នៅពេលរូបភាពអុបទិកដែលត្រូវបានគេជ្រើសរើសដោយឧបករណ៏ឧបករណ៏មានប្រេកង់ spatial ខ្ពស់ជាងឧបករណ៏នោះគំរូដែលនៅក្រោមធ្វើជាច្រកទាបឆ្លងកាត់ដើម្បីកាត់បន្ថយឬលុបបំបាត់ភាពអាប់អួ។ នៅពេលដែលតំបន់នៃកន្លែងយកគំរូ (ទំហំឧបករណ៍ចាប់សញ្ញាភីកសែល) មិនមានទំហំធំល្មមគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្តល់នូវ ចន្លោះប្រហោងការពារចន្លោះប្រហោង គ្រប់គ្រាន់។តម្រងប្រឆាំងរឆេតរឆូតដាច់ដោយឡែក (តម្រងអុបទិកទាប) អាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកាមេរ៉ាដើម្បីកាត់បន្ថយ MTF នៃរូបភាពអុបទិក។ ជំនួសឱ្យការទាមទារតម្រងអុបទិកផ្នែក កែច្នៃក្រាហ្វិក របស់ កាមេរ៉ា ស្មាតហ្វូន ដំណើរការដំណើរការសញ្ញាឌីជីថល ដើម្បីលុបចេញនូវឈ្មោះក្លែងក្លាយជាមួយតម្រងឌីជីថល។ តម្រងឌីជីថលក៏ត្រូវបានគេធ្វើឱ្យច្បាស់ដើម្បីពង្រីកភាពផ្ទុយគ្នាពីកញ្ចក់នៅប្រេកង់ spatial ខ្ពស់ដែលបើមិនដូច្នេះទេវានឹងធ្លាក់យ៉ាងឆាប់រហ័សនៅកម្រិតកំហាប់ខុសគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទគំរូក៏ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះរូបភាពឌីជីថលក្រោយដំណើរការដូចជាការឡើងឬចុះគំរូ។ បែបផែននៃព្រិលៗ, ព្រិលនិងការធ្វើឱ្យច្បាស់អាចត្រូវបានលៃតម្រូវដោយការត្រងឌីជីថលដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងកម្មវិធីដែលចាំបាច់ធ្វើតាមគោលការណ៍ទ្រឹស្តី។

ប្រេកង់រិះគន់ [ កែប្រែ ]

ដើម្បីបង្ហាញពីភាពចាំបាច់នៃការ ច _បាន > 2 ខ , ពិចារណាក្រុមគ្រួសាររបស់ sinusoids ដែលបានបង្កើតដោយតម្លៃផ្សេងគ្នានៃθក្នុងរូបមន្តនេះ :

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ cos (\ theta)}} \ \ \ \ \ \ \ \ cos (2 \ Pi Bt) - \ sin (2 \ pi Bt) \ tan (\ theta), \ quad - \ pi / 2 <\ theta <\ pi / 2 ។ }

ក្រុមគ្រួសារនៃ sinusoids នៅប្រេកង់ដ៏សំខាន់ដែលទាំងអស់មានលំដាប់គំរូដូចគ្នានៃការជំនួស +1 និង -1 ។ នោះគឺពួកគេទាំងអស់សុទ្ធតែជាឈ្មោះក្លែងក្លាយរបស់គ្នាទៅវិញទៅមកទោះបីជាប្រេកង់របស់ពួកគេមិនលើសពីពាក់កណ្តាលអត្រាគំរូ។

ដោយ f _s = 2 B ឬស្មើ T = 1 / (2 B ) គំរូត្រូវបានផ្តល់ដោយ :

$${\ displaystyle x (nT) = \ cos (\ pi n) - \ underbrace {\ sin (\ pi n)} _ {0} \ tan (\ theta) = (- 1) ^ {n}} ។

ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃθ ។ ភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះគឺជាហេតុផលសម្រាប់ វិសមភាព ដ៏តឹងរឹង នៃលក្ខខណ្ឌទ្រឹស្តីគំរូ។

គំរូនៃសញ្ញាដែលមិនមែនជា baseband [ កែប្រែ ]

ដូចដែលបានពិភាកដោយ Shannon: ^[2]

លទ្ធផលស្រដៀងគ្នានេះគឺពិតប្រសិនបើក្រុមតន្រ្តីនេះមិនចាប់ផ្តើមប្រេកង់សូន្យទេប៉ុន្តែតម្លៃខ្ពស់ជាងហើយអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយការបកប្រែលីនេអ៊ែរ (ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង ការកែទម្រង់តែម្នាក់ឯង ) នៃករណីប្រេកង់សូន្យ។ ក្នុងករណីនេះជីពចរបឋមត្រូវបានគេទទួលបានពីអំពើបាប ( x ) / x ដោយការវាស់ម៉ូម៉ិលចំហៀង។

នោះគឺជាលក្ខខណ្ឌគ្មានការបាត់បង់គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ សញ្ញា គំរូ ដែលមិនមាន សមាសភាគ baseband មានដែលពាក់ព័ន្ធនឹង ទទឹង នៃចន្លោះប្រេកង់សូន្យដែលផ្ទុយទៅនឹងសមាសភាគប្រេកង់ខ្ពស់បំផុតរបស់វា។ មើល គំរូ (ដំណើរការសញ្ញា) សម្រាប់ព័ត៌មានលម្អិតនិងឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ដើម្បីស្រង់ សញ្ញា វិទ្យុ FM នៅក្នុងចន្លោះប្រេកង់ពី 100-102  MHz វាមិនចាំបាច់ធ្វើតេស្តនៅ 204 MHz (ពីរដងនៃប្រេកង់ខាងលើទេ) ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិសោធន៍នៅ 4 MHz (ទ្វេដង ទទឹងនៃចន្លោះប្រេកង់) ។

លក្ខខ័ណ្ឌ bandpass គឺថា X ( f ) = 0 សម្រាប់ទាំងអវិជ្ជមាន f ខាងក្រៅប្រេកង់ចំហាយនៃប្រេកង់:

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {N} {2}} f _ {\ mathrm {s}}, {\ frac {N + 1} {2}

សម្រាប់ចំនួនគត់ nonnegative មួយចំនួន N ។ ការបង្កើតនេះរួមបញ្ចូលទាំងលក្ខខណ្ឌ baseband ធម្មតាដូចករណី N = 0 ។

អនុគមន៍អាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នាគឺជាការឆ្លើយតបដោយចៃដន្យនៃ តម្រង bandpass - ជញ្ជាំងឥដ្ឋដ៏ល្អ (ផ្ទុយទៅនឹង តម្រងទាប បំផុត នៃជញ្ជាំងឥដ្ឋ - ជញ្ជាំងដែល ត្រូវបានប្រើខាងលើ) ជាមួយនឹងការកាត់នៅគែមខាងលើនិងខាងក្រោមនៃក្រុមដែលបានបញ្ជាក់ដែលជាភាពខុសគ្នារវាងគូ នៃការឆ្លើយតប impulse lowpass:

$$\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ frac {Nt} {T}} \ right) ។ }

ឧទាហរណ៏ទូទៅ, ឧទាហរណ៍ចំពោះសញ្ញាដែលកាន់កាប់ក្រុមតន្រ្តីមិនជាប់គ្នា, អាចធ្វើបានផងដែរ។ សូម្បីតែទម្រង់ទូទៅបំផុតនៃទ្រឹស្តីបទសំណាកគំរូមិនមានការពិភាក្សាពិតជាក់ស្តែង។ នោះគឺយើងមិនអាចសន្និដ្ឋានបានថាព័ត៌មានត្រូវបានបាត់បង់ជាចាំបាច់ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទគំរូមិនពេញចិត្ត។ ពីទស្សនវិស័យវិស្វកម្មទោះជាយ៉ាងណាវាជាទូទៅមានសុវត្ថិភាពដើម្បីសន្មត់ថាប្រសិនបើទ្រឹស្តីបទគំរូមិនពេញចិត្តនោះព័ត៌មាននឹងទំនងជាបាត់បង់។

គំរូ Nonuniform [ កែប្រែ ]

ទ្រឹស្តីគំរូនៃ Shannon អាចត្រូវបានគេទូលំទូលាយសម្រាប់ករណី គំរូ nonuniform ដែលជាគំរូដែលមិនត្រូវបានយកចន្លោះស្មើគ្នានៅក្នុងពេលវេលា។ ទ្រឹស្តីបទគំរូ Shannon សម្រាប់គំរូមិនមែនឯកសណ្ឋានបានបញ្ជាក់ថាសញ្ញាដែលមានកំណត់ក្រុមអាចត្រូវបានធ្វើឡើងវិញយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះពីសំណាករបស់វាប្រសិនបើអត្រាគំរូមធ្យមបានបំពេញនូវលក្ខខណ្ឌ Nyquist ។ ^[3] ដូច្នេះទោះបីជាគំរូដកឃ្លាឯកសណ្ឋានអាចបង្កឱ្យមានក្បួនដោះស្រាយឡើងវិញដែលងាយស្រួលជាងមុនវាមិនមែនជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការកសាងឡើងវិញដ៏ល្អឥតខ្ចោះនោះទេ។

ទ្រឹស្តីទូទៅសម្រាប់គំរូមិនមែន baseband និងគំរូ nonuniform ត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងឆ្នាំ 1967 ដោយ Henry Landau ។ ^[4] គាត់បានបង្ហាញថាអត្រាគំរូមធ្យម (ឯកសណ្ឋានឬបើមិនដូច្នេះ) ត្រូវតែជាពីរដង កាន់កាប់ កម្រិតបញ្ជូននៃសញ្ញា, សន្មត់ថាវាជា priori មួយ ដែលគេស្គាល់ថាអ្វីដែលជាផ្នែកមួយនៃវិសាលគមនេះត្រូវបានគេកាន់កាប់។ នៅចុងទសវត្សឆ្នាំ 1990 ការងារនេះត្រូវបានពង្រីកផ្នែកខ្លះដើម្បីគ្របដណ្តប់សញ្ញានៃពេលដែលចំនួននៃការកើនឡើងនៃរលកអាកាសត្រូវបានគេដឹងប៉ុន្តែផ្នែកដែលបានកាន់កាប់ពិតប្រាកដនៃវិសាលគមនេះមិនត្រូវបានគេដឹង។ ^[5] នៅក្នុងទសវត្សឆ្នាំ 2000 ទ្រឹស្ដីពេញលេញមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង (សូមមើលផ្នែក ខាងក្រៅ Nyquist ខាងក្រោម) ដោយប្រើ ការបិត។ ជាពិសេសទ្រឹស្ដីដោយប្រើភាសាដំណើរការសញ្ញាត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងក្រដាស 2009 នេះ។ ^[6]ពួកគេបានបង្ហាញក្នុងចំនោមអ្វីផ្សេងទៀតដែលថាប្រសិនបើទីតាំងប្រេកង់មិនត្រូវបានគេដឹងនោះវាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការធ្វើបទបង្ហាញយ៉ាងហោចណាស់ក៏ពីរគុណវិនិច្ឆ័យរបស់ Nyquist ។ ម្យ៉ាងវិញទៀតអ្នកត្រូវតែបង់យ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយនៃ 2 សម្រាប់ការមិនដឹងពីទីតាំងនៃ វិសាលគមនេះ ។ ចំណាំថាតម្រូវការគំរូអប្បបរមាមិនចាំបាច់ធានាឱ្យមាន ស្ថេរភាព ។

ការធ្វើគំរូនៅខាងក្រោមអត្រា Nyquist ក្រោមការរឹតបន្តឹងបន្ថែម [ កែប្រែ ]

អត្ថបទដើម: Undersampling

ទ្រឹស្តីបទគំរូ Nyquist-Shannon ផ្តល់នូវ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ សម្រាប់ការជ្រើសរើសនិងការបង្កើតឡើងវិញនៃសញ្ញាដែលមានកំណត់។ នៅពេលការស្ថាបនាឡើងវិញត្រូវបានធ្វើតាម រូបមន្តអយយ័ន Whittaker-Shannon លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Nyquist ក៏ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់មួយដើម្បីជៀសវាងការដាក់ឈ្មោះតាមប្រហោងក្នុងន័យថាប្រសិនបើគំរូត្រូវបានគេយកទៅក្នុងល្បឿនយឺតជាងពីរដងនៃដែនកំណត់ក្រុមនោះមានសញ្ញាមួយចំនួនដែលនឹងមិនមាន ត្រូវបានកសាងឡើងវិញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើមានការរឹតបន្តឹងបន្ថែមទៀតលើសញ្ញាបន្ទាប់មកលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Nyquist ប្រហែលជាលែងជា លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ។

ឧទាហរណ៏មិនសំខាន់នៃការកេងប្រវ័ញ្ចការសន្មត់បន្ថែមអំពីសញ្ញាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយវាលថ្មីនៃ អារម្មណ៍ដែលបានបង្ហាប់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានការស្ថាបនាពេញលេញជាមួយនឹងអត្រាសំណាករងរបស់ Nyquist ។ ជាពិេសសវា្រតូវអនុវត្តចំេពាះសញ្ញាែដលវាេ្រចើន (ឬអាចបញចញ) ក្នុងដែនខ្លះ។ ជាឧទាហរណ៍បង្ហាប់កិច្ចព្រមព្រៀងយល់ជាមួយនឹងសញ្ញាដែលអាចមានកម្រិតទាបជាងទាំងអស់កម្រិតបញ្ជូន (និយាយជា មានប្រសិទ្ធភាព កម្រិតបញ្ជូន EB ) ប៉ុន្តែទីតាំងប្រេកង់គឺជាអ្នកដែលមិនស្គាល់ជាជាងទាំងអស់គ្នានៅក្នុងក្រុមតន្ត្រីតែមួយដូច្នេះថា បច្ចេកទេស passband ពុំ មិនអនុវត្ត។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតវិសាលគមប្រេកង់នេះគឺជាការ sparse ។ ជាទូទៅអត្រាគំរូចាំបាច់គឺ 2 ប៊ី។ ដោយប្រើបច្ចេកទេសដែលបានសង្កត់សញ្ញាសញ្ញាអាចត្រូវបាន reconstructed ល្អឥតខ្ចោះប្រសិនបើវាត្រូវបានគេធ្វើគំរូនៅអត្រាទាបជាងបន្តិច 2 EB ។ ការធ្លាក់ចុះនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាការស្ថាបនាឡើងវិញមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តទេប៉ុន្តែជំនួសដោយដំណោះស្រាយចំពោះ កម្មវិធីបង្កើនប្រសព្វ ដែលត្រូវការវិធីសាស្ត្រដែលបានសិក្សាយ៉ាងល្អប៉ុន្តែមិនមែនបន្ទាត់។

ឧទាហរណ៏មួយទៀតដែលការស្កេនរងនីត្រូសគឺល្អប្រសើរឡើងនៅក្រោមកម្រិតបន្ថែមដែលគំរូត្រូវបានវាស់វែងតាមលក្ខណៈល្អប្រសើរដូចក្នុងប្រព័ន្ធរួមបញ្ចូលគ្នានៃគំរូនិង ការបង្ហាប់ខ្ជះខ្ជាយ ដ៏ល្អឥតខ្ចោះ ។ ^[7] ការកំណត់នេះមានជាប់ទាក់ទងក្នុងករណីដែលផលប៉ះពាល់រួមនៃគំរូនិង វាស់បរិមាណ ត្រូវបានពិចារណាហើយអាចផ្តល់នូវការកំណត់ទាបសម្រាប់កំហុសនៃការសាងសង់ឡើងវិញតិចតួចដែលអាចទទួលបានក្នុងគំរូនិងកំណត់បរិមាណ សញ្ញាចៃដន្យ ។ ចំពោះសញ្ញាចៃដន្យ Gaussian ស្ថេរភាពខ្សោយនេះត្រូវបានគេទទួលបានតាមគំរូគំរូអនុ Nyquist ដែលបង្ហាញថាការជ្រើសរើសគំរូរងនីត្រូគឺល្អប្រសើរសម្រាប់ម៉ូដែលសញ្ញានេះស្ថិតនៅក្រោម បរិមាណ ដ៏ល្អប្រសើរ ។ ^[8]

សាវតារប្រវត្តិសាស្ត្រ [ កែប្រែ ]

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបាន implied គំរូដោយការងាររបស់ លោក Harry Nyquist នៅឆ្នាំ 1928 ^[9] នៅក្នុងការដែលគាត់បានបង្ហាញថារហូតដល់ 2 ខ សំណាកជីពចរឯករាជ្យអាចត្រូវបានផ្ញើតាមរយៈប្រព័ន្ធនៃការកម្រិតបញ្ជូនដែលមាន ខ ; ប៉ុន្តែគាត់មិនបានពិចារណាយ៉ាងច្បាស់អំពីបញ្ហានៃគំរូនិងការសាងសង់សញ្ញាបន្ត។ អំពីពេលជាមួយគ្នានេះដែរ លោក Karl Küpfmüller បានបង្ហាញពីលទ្ធផលស្រដៀងគ្នា ^[10] ហើយបានពិភាក្សាអំពីការឆ្លើយតបដោយចំហនៃការច្របាច់នៃការកំណត់តម្រងតាមក្រុមតាមរយៈភាពសំខាន់របស់វាដែលជាអាំងតេក្រាលចំលើយនៃ ស៊ីនុស ។ តម្រង bandlimiting និង reconstruction នេះដែលជាកត្តាសំខាន់ចំពោះទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានសំដៅលើ តម្រងKüpfmüller (ប៉ុន្តែកម្រនេះណាស់ជាភាសាអង់គ្លេស) ។

ទ្រឹស្តីបទគំរូដែលជាលទ្ធផល ពីរ នៃលទ្ធផលរបស់ Nyquist ត្រូវបានបង្ហាញដោយ លោក Claude E. Shannon ។ ^[2] VA Kotelnikov បាន ចេញផ្សាយលទ្ធផលស្រដៀងគ្នានៅឆ្នាំ 1933 ^[11] ដូចគណិតវិទូ ET Whittaker នៅឆ្នាំ 1915 ^[12] ជេមវីតធ័រនៅឆ្នាំ 1935 ^[13] និង ហ្គ្រោត នៅឆ្នាំ 1946 (ទ្រឹស្តីនៃការប្រាស្រ័យទាក់ទង) ។ នៅឆ្នាំ 1999 មូលនិធិ Eduard Rhein Foundation បានផ្ដល់ ពានរង្វាន់ស្រាវជ្រាវមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេដល់ Kotelnikov "សម្រាប់ការបង្កើតពិតប្រាកដនៃទ្រឹស្តីបទគំរូ" ។

នៅឆ្នាំ 1948 និងឆ្នាំ 1949 លោកក្លូអ៊ីអ៊ីហ្សាន់នុនបានបោះពុម្ពអត្ថបទបដិវត្ដន៍ពីរដែលគាត់បានបង្កើតទ្រឹស្តីព័ត៌មាន។ ^{[14] [15] [2]} នៅក្នុង Shannon 1948 ទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានគេបង្កើតជា "ទ្រឹស្ដីបទទី 13": កុំឱ្យ f ( t ) មានហ្វ្រេកង់គ្មានវ៉េន។ បន្ទាប់មក

$${\ insty} X_ {n} {\ frac {\ sin \ pi (2 វត្ន៍)} {\ pi (2Wt-n)} {\ in} },}

ដែល X _n = f ( n / (2 វ៉ )) ។ វាមិនមែនរហូតដល់អត្ថបទទាំងនេះត្រូវបានគេបោះពុម្ពផ្សាយថាទ្រឹស្ដីដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទគំរូរបស់ Shannon បានក្លាយជាទ្រព្យសម្បត្តិរួមរវាងវិស្វករទំនាក់ទំនងទោះបីជាលោក Shannon ផ្ទាល់បានសរសេរថានេះជាការពិតដែលជាចំណេះដឹងទូទៅនៅក្នុងសិល្បៈទំនាក់ទំនង។ ^{[ចំណាំ 2]} មួយបន្ទាត់មួយចំនួនបន្ថែមទៀតនៅលើ, ទោះជាយ៉ាងណាលោកបានបន្ថែមថា: «ប៉ុន្តែនៅក្នុងថ្វីបើសារៈសំខាន់ភស្តុតាងរបស់ខ្លួន [វា] ហាក់ដូចជាមិនបានបង្ហាញខ្លួនយ៉ាងជាក់លាក់ក្នុងអក្សរសិល្ប៍នៃទ្រឹស្តីការទំនាក់ទំនងនេះ "។

អ្នករកឃើញផ្សេងទៀត [ កែប្រែ ]

អ្នកផ្សេងដែលរកឃើញឬដើរតួដោយឯករាជ្យក្នុងការអភិវឌ្ឍទ្រឹស្តីបទគំរូត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទប្រវត្តិសាស្ត្រជាច្រើនដូចជា Jerri ^[16] និងLüke។ ^[17] ឧទាហរណ៍Lükeចង្អុលបង្ហាញថាលោក H. Raabe ជំនួយការរបស់Küpfmüllerបានបង្ហាញទ្រឹស្ដីនៅក្នុងទ្រឹស្ដីឆ្នាំ 1939 របស់គាត់។ បរិញ្ញាបត្រ ពាក្យ លក្ខខណ្ឌ Raabe បានចូលមកត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការតំណាងពិតប្រាកដ (អត្រាគំរូធំជាងពីរដងកម្រិតបញ្ជូន) នេះ។ Meijering ^{[18] បាន} លើកឡើងពីអ្នករកឃើញជាច្រើននិងឈ្មោះនៅក្នុងកថាខណ្ឌនិងខៀននៃលេខយោង។

ដូចដែលបានចង្អុលបង្ហាញដោយលោក Higgins [135] ទ្រឹស្តីបទសំណាកគំរូគួរតែត្រូវបានពិចារណាជាពីរផ្នែកដូចបានធ្វើខាងលើ: ដំបូងបញ្ជាក់ពីការពិតដែលថាអនុគមន៍ខ្សែព្រំដែនត្រូវបានកំណត់ដោយគំរូរបស់វាទាំងស្រុងទីពីរពិពណ៌នាអំពីរបៀបដើម្បីកសាងឡើងវិញនូវមុខងារដោយប្រើវា គំរូ។ ផ្នែកទាំងពីរនៃទ្រឹស្តីបទសំណាកគំរូត្រូវបានផ្តល់ជូនដោយទម្រង់ Jm Whittaker [350, 351, 353] និងមុនពេលគាត់ក៏ដោយ Ogura [241, 242] ។ ពួកគេប្រហែលជាមិនដឹងពីការពិតដែលថាផ្នែកដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានគេបញ្ជាក់នៅដើមឆ្នាំ 1897 ដោយបុរី [25] ។ ²⁷ដូចដែលយើងបានឃើញស្រាប់តែបុរីក៏បានប្រើប្រាស់នៅជុំវិញពេលនោះដែរអ្វីដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាខ្សែរខាស។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគាត់ហាក់ដូចជាមិនបានបង្កើតទំនាក់ទំនងទេ [135] ។ នៅប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមកវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាទ្រឹស្ដីបទគំរូត្រូវបានបង្ហាញមុនពេលលោកសាន់នូនទៅសហគមន៍ទំនាក់ទំនងរុស្ស៊ីដោយ Kotelnikov [173] ។ ក្នុងន័យជាក់ស្តែងបន្ថែមទៀតទម្រង់បែបបទពាក្យសម្ដីក៏ត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អាល្លឺម៉ង់ដោយ Raabe [257] ។ អ្នកនិពន្ធជាច្រើន [33, 205] បានបញ្ជាក់ថាអៀរៀ [296] បានណែនាំទ្រឹស្ដីនៅក្នុងទ្រឹស្តីអក្សរសិល្ប៍ជប៉ុនស្របទៅនឹង Shannon ។ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អង់គ្លេស Weston [347] បានណែនាំវាដោយឡែកពី Shannon ក្នុងពេលតែមួយ។ ²⁸

^[27] អ្នកនិពន្ធជាច្រើននាក់ក្រោយពីជនជាតិស្បែកខ្មៅ [16] បានអះអាងថាផ្នែកដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទគំរូនេះត្រូវបានគេលើកឡើងសូម្បីតែពីមុនដោយ Cauchy នៅក្នុងក្រដាស [41] បោះពុម្ភផ្សាយក្នុងឆ្នាំ 1841 ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយក្រដាស Cauchy មិនមានសេចក្តីថ្លែងបែបនេះទេ។ ដូចដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលោក Higgins [135] ។

²⁸ ជាលទ្ធផលនៃការរកឃើញនៃការណ្រនាំឯករាជ្យជាច្រើននៃទ្រឹស្តីបទគំរូនេះ, មនុស្សដែលបានចាប់ផ្តើមដើម្បីយោងទៅទ្រឹស្តីបទនេះដោយរួមទាំងឈ្មោះរបស់អ្នកនិពន្ធខាងលើនេះជាលទ្ធផលនៅក្នុងដូចជាឃ្លា "ការ Whittaker-Kotel'nikov-នាង Shannon (WKS) ទ្រឹស្តីបទគំរូ "ឬក៏" ទ្រឹស្តីបទគំរូ Whittaker-Kotelnikov-Raabe-Shannon-Someya "[33] ដើម្បីជៀសវាងការយល់ច្រឡំប្រហែលជាអ្វីដែលល្អបំផុតដែលត្រូវធ្វើគឺសំដៅទៅលើទ្រឹស្ដីបទគំរូ ជាងការព្យាយាមរកចំណងជើងដែលធ្វើយុត្តិធម៌ដល់អ្នកទាមទារសំណងទាំងអស់ "[136] ។

ហេតុអ្វីបានជា Nyquist? [ កែប្រែ ]

ពិតប្រាកដថាតើពេលណាឬហេតុអ្វី ហានីគស្នីដែល មានឈ្មោះរបស់គាត់ភ្ជាប់ទៅទ្រឹស្តីបទគំរូនៅតែមិនច្បាស់លាស់។ ពាក្យនេះ Nyquist គំរូទ្រឹស្ដីបទ (សរសេរជាអក្សរធំដូច្នេះ) បានបង្ហាញខ្លួននៅដើមឆ្នាំ 1959 នៅក្នុងសៀវភៅពីអតីតនិយោជករបស់លោក Bell labs បាន , ^[19] និងបានបង្ហាញខ្លួនជាថ្មីម្តងទៀតនៅឆ្នាំ 1963 ^[20] និងមិនសរសេរជាអក្សរធំនៅឆ្នាំ 1965 ^[21] វាត្រូវបានគេហៅថា ដែល នាង Shannon គំរូទ្រឹស្ដីបទ ជាដំបូងនៅឆ្នាំ 1954 ^[22] ប៉ុន្តែការផងដែរគ្រាន់តែ ទ្រឹស្តីបទគំរូ ដោយសៀវភៅផ្សេងទៀតជាច្រើននៅក្នុងដើមទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1950 ។

នៅឆ្នាំ 1958 បានលើកឡើងពី Blackman និង Tukey ឆ្នាំ 1928 Nyquist របស់អត្ថបទឯកសារយោងសម្រាប់ការជា ការទ្រឹស្តីបទគំរូនៃទ្រឹស្តីព , ^[23] ទោះបីជាអត្ថបទដែលមិនព្យាបាលគំរូនិងការកសាងឡើងវិញនៃសញ្ញាដែលអ្នកផ្សេងបានធ្វើបន្ត។ សទ្ទានុក្រមនៃពាក្យរបស់ពួកវារួមបញ្ចូលធាតុទាំងនេះ:

ទ្រឹស្តីបទគំរូ (ទ្រឹស្តីព័ត៌មាន)

លទ្ធផលរបស់ Nyquist ដែលទិន្នន័យចន្លោះប្រហោងដែលមានចំណុចពីរឬច្រើនក្នុងមួយវដ្តនៃប្រេកង់ខ្ពស់បំផុតអនុញ្ញាតឱ្យស្ថាបនាឡើងវិញនូវអនុគមន៍ដែលកំណត់ដោយក្រុម។ (សូមមើល ទ្រឹស្តីបទខា ។ )

ទ្រឹស្តីបទកាតូលិក (ទ្រឹស្តីអាំងតេក្រាល)

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ច្បាស់លាស់នៃលក្ខខណ្ឌដែលក្រោមដែលតម្លៃដែលបានផ្តល់នៅត្រង់នៃគម្លាតទ្វេដងនៃចំនុចដែលមានតំលៃស្មើគ្នាអាចត្រូវបានដាក់កម្រិតដើម្បីបង្កើតអនុគមន៍ខ្សែរកំណត់ដែលមានកម្រិតដោយជំនួយនៃអនុគមន៍

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x-x_ {i})} {x-x_ {i}}} ។ }

ពិតប្រាកដណាស់អ្វីដែល "លទ្ធផលរបស់ Nyquist" ដែលពួកគេសំដៅទៅលើភាពអាថ៌កំបាំង។

យោងតាមលោក Meijering ^[18] គាត់បានសំដៅទៅលើ ចន្លោះប្រហោងសំណើម T = 1 / (2 W ) ដែលជា ចន្លោះពេល Nyquist ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងក្រុម W ក្នុងការទទួលស្គាល់របស់ Nyquist ការរកឃើញសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាននៃចន្លោះនេះក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងទូរលេខ "។ នេះពន្យល់ពីឈ្មោះរបស់ Nyquist នៅចន្លោះពេលសំខាន់ប៉ុន្តែមិនមែនលើទ្រឹស្ដីទេ។

ដូចគ្នានេះដែរឈ្មោះរបស់ Nyquist ត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹង អត្រា Nyquist នៅឆ្នាំ 1953 ដោយ ហារ៉ូលស។ ខ្មៅ : ^[24]

ប្រសិនបើចន្លោះប្រេកង់ដ៏សំខាន់ត្រូវបានកំណត់ត្រឹម B ក្នុងមួយវិនាទី 2 B ត្រូវបានផ្តល់ដោយ Nyquist ជាចំនួនលេខកូដអតិបរិមាក្នុងមួយវិនាទីដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយមិនច្បាស់លាស់ដោយសន្មតថាការជ្រៀតជ្រែកខ្ពស់បំផុតគឺមានកម្រិតតិចជាងពាក់កណ្ដាល។ សំដៅទៅជា សញ្ញានៅអត្រា Nyquist និង 1 / (2 ប៊ី ) ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះប្រហោង Nyquist ។ " (ដិតបន្ថែមសម្រាប់ការសង្កត់ធ្ងន់តួអក្សរទ្រេតដូចនៅក្នុងដើម)

យោងតាម OED នេះអាចជាប្រភពដើមនៃពាក្យ Nyquist ។ ក្នុងការប្រើប្រាស់របស់ខ្មៅវាមិនមែនជាអត្រាគំរូទេប៉ុន្តែជាអត្រាសញ្ញា។

• Twitter
• Facebook
• Google
• Tumblr
• Pinterest